Teorema del sinus

En trigonometria, el teorema del sinus és una afirmació respecte d'un triangle qualsevol en el pla, vàlida també per un triangle esfèric i amb una formulació equivalent a la geometria hiperbòlica. Si els costats d'un triangle són a, b i c i els angles oposats a aquests costats són A, B i C, llavors el teorema del sinus afirma:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R}$

on R és el radi de la circumferència circumscrita en el triangle. Aquest teorema és útil per a calcular els altres dos costats d'un triangle quan es coneixen dos angles i un costat, un problema habitual en la tècnica de triangulació. També es pot fer servir quan es coneixen dos costats i un dels angles que no és el comprès entre els dos costats; en aquest cas, la fórmula pot donar dos valors possibles per a l'angle comprès. Quan això passa, sovint només un dels resultats farà que tots els angles siguin més petits de 180°; en altres casos, hi ha dues solucions vàlides per al triangle (vegeu la secció el cas ambigu d'aquest mateix article per a més informació).

Es pot demostrar que

${\displaystyle {\begin{aligned}2R={\frac {abc}{2A}}&{}={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\&{}={\frac {2abc}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}.\end{aligned}}}$

on A és l'àrea del triangle i s és el semiperímetre

${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}.}$

La segona igualtat de més amunt és en essència la fórmula d'Heró.